Étape 8: Approximation de π en utilisant arctan
La méthode suivante implique l’utilisation de la fonction trigonométrique arctan pour créer une série infinie qui convergent vers π. Il a été découvert par Madhava de Sangamagrama, qui vécut de 1340 à 1425.
Cette étape va dans les détails mathématiques. Vous pouvez sauter si vous souhaitez accéder directement à l’algorithme.
À l’aide de calcul il a été prouvé que :
arctan (x) = x - (x³/3) + (x⁵/5) - (x⁷/7) + (x⁹/9) - (x¹¹/11)...
Comment cela nous aide-t-il ? Eh bien la sortie de l’arctan dans cette formule est exprimé en radians, et radians sont définis comme l’angle que vous obtenez lorsque vous fractionnez une révolution complète en segments de 2π.
Ensuite, nous devons trouver un moyen de relier les arctan formule avec π. Tan (x) est le rapport entre le côté opposé au côté adjacent dans un triangle droit angle angle x, donc si nous voulons que ce ratio à 1, un ensemble agréable arrondir nombre, puis les côtés opposées et adjacentes du triangle doivent être d’égale longueur. Il s’agit d’un triangle isocèle rectangle, donc un angle est un angle droit, et les deux autres doivent être égales. Nous savons que tous les angles dans un triangles doivent ajouter jusqu'à radians π (il s’agit de la règle correspondante comme sous tous les angles dans un triangle ajouter jusqu'à 180 °), et qu’un angle est π/2 radians (l’angle droit). Sur cette base que nous pouvons établir que les deux autres angles doivent ajouter jusqu'à π/2 radians, ainsi chacun doit être π/4 radians. Donc là, nous avons, pour le ratio du côté opposé et à côté d’un triangle comme l’un, l’angle du triangle à angle droit doit être π/4 radians, en d’autres termes :
Tan(π/4) = 1
Comme arctan est la fonction inverse de tan il s’ensuit que :
arctan(1) = π/4
Maintenant les choses commencent à devenir un peu plus intéressant. Nous savons d’après la règle :
arctan (x) = x - (x³/3) + (x⁵/5) - (x⁷/7) + (x⁹/9) - (x¹¹/11)...
qui :
arctan(1) = 1 - (1³/3) + (1⁵/5) - (1⁷/7) + (1⁹/9) - (1¹¹/11)...
Si nous substituer que dans l’équation arctan(1) = π/4, nous obtenons
Π/4 = 1 - (1³/3) + (1⁵/5) - (1⁷/7) + (1⁹/9) - (1¹¹/11)
qui se simplifie en :
Π = 4 - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11)...
Enfin, nous avons une formule parfaite pour calculer π ! Tout ce que nous devons faire maintenant est de mettre en œuvre en python.