Étape 10 : Combinaisons trigonométriques à π approximatif (partie 1)
Dans notre dernière étape, nous avons appris comment utiliser arctan(1) = π/4, mais nous avons trouvé que l’algorithme a été trop lent.
Il s’avère qu’à l’aide de quelques trucs trigonométriques, nous pouvons adapter l’algorithme précédent pour le rendre beaucoup plus rapide.
Cette étape et l’étape suivante entrer dans les détails mathématiques. Vous pouvez ignorer ces deux étapes si vous souhaitez passer directement au nouvel algorithme.
En trigonométrie, on sait que :
Tan (x + y) = (Tan (x) + tan(y)) / (1 - (tan(x)*tan(y))
Si nous remplacer x et y avec arctan (x) et arctan(y), nous obtenons :
Tan(arctan(x) + arctan(y)) = (x + y) / (1 - x * y)
(Notez que arctan(tan(x)) est égal à x). Enfin, si nous appliquons arctan de part et d’autre on obtient :
arctan (x) + arctan(y) = arctan ((x + y) / (1 - x * y))
Cela nous donne une méthode pour ajouter deux arctan. Nous pouvons trouver des valeurs pour x et y tels que
arctan (x) + arctan(y) = arctan(1) = π/4.
Pour ce faire, nous devons avoir :
(x + y) / (1 - x * y) = 1
qui se simplifie en :
y = (1 - x)/(1+x)
Oui, arctan (x) + arctan(y) = arctan (x) + arctan ((1 - x)/(1+x))
Ce qui nous donne :
Π/4 = arctan (x) + arctan ((1 - x)/(1+x))