Étape 7: Coloris dans le « remplissage » et en savoir plus sur le groupe de symétrie
Cette coloration est très spéciale car elle met en valeur le groupe de symétrie de la forme. Une symétrie d’une forme est une paire de positions bien distinctes qui se ressemblent. Vous avez probablement entendu parler de symétrie miroir, puisque votre visage a symétrie gauche-droite, mais c’est exactement le genre nous ne pensons à ici. Nous parlons d’une symétrie rotationnelle 3D. Par exemple un crayon a la symétrie de rotation cyclique 6 broches. Il y a six postes du crayon qui se ressemblent parce qu’ils sont des rotations de l’autre (en supposant que le crayon n’a aucuns marques). Chaque forme possède exactement un groupe de symétrie.
Le groupe de symétrie d’une forme est les rotations 3D set qui prennent la forme d’une position donnée, à tous ceux qui sont symétriques à elle. Pour un crayon, c’est une rotation autour de la longueur du crayon par 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6 et 6/6 d’une rotation totale. Nous appelons cela le groupe cyclique sur 6 éléments.
Pour le bal de cravate Zip, c’est plus compliqué, donc nous avons résumé les informations essentielles pour décrire le groupe de symétrie en termes de cinq, couleurs que j’appelle 1,2,3,4 et 5. Si nous prenons les couleurs 12345 à ceux qui sont dans le sens horaire autour d’un des cercles, démarrant à la position de midi (à partir de là où nous visualisons la forme), nous pouvons tourner le Zip Tie bille dans le sens horaire autour de ce cercle pour faire montrer 51234. Et puis de nouveau obtenir 45123 et encore 34512 et nouveau 23451 et encore 12345. Nous avons déjà découvert un sous-groupe, et c’est le groupe cyclique sur 5 éléments !
Il y a autres symétries qui mappent les cercles aux cercles, et ils sont tous un type spécial de permutation de l’original 12345, appelé une permutation de même. C’est sympa que nos couleurs sont comptés, car une permutation même 12345, est celui qui possède un nombre pair de chiffres qui sont hors d’usage ; c'est-à-dire, le plus grand est sur la gauche. Par exemple, 51342 a 6 paires de chiffres dans le désordre (51,53,54,52,32,42), est une permutation de même. Les permutations de 12345 représentent exactement la moitié de toutes les permutations possibles, qui totalisent 120. Notre boule de cravate Zip a donc exactement 60 symétries !
Voici une bonne introduction aux groupes de l’alternance pour les étudiants de mathématiques.
Revenons à où nous avons tourné autour d’un cercle. Après 5 étapes, nous sommes revenus là où nous avons commencé à 12345. Étant donné que ces rotations circulaires de 1/5 qui nous fait nous a apporté au début après avoir appliqué 5 fois, nous appelons cela un élément (rotation 3D) d’ordre 5. Nous pouvons faire 1/3 circulaire rotations autour d’un triangle pour obtenir un élément d’ordre 3 et 1/2 la rotation circulaire autour d’un diamant sont d’ordre 2. Ces rotations circulaires peuvent être combinées.
Alors que doit faire une rotation vers la droite de 1/3 à 12345 ? Maintenant, nous avons vraiment besoin d’utiliser le ballon de cravate Zip. Tout d’abord décider quelles couleurs seront 12345. J’ai choisi rouge, bleu, violet, jaune, vert sur la photo. Si on tourne dans le sens horaire autour du triangle situé directement en dessous de 1/3, les couleurs 12345 sont remplacés avec violet, bleu, jaune, rouge, vert ou 32415. Les couleurs ne se touchent pas le triangle (2 et 5) n'ont pas changé de position !
Maintenant Découvrez les rotations de 1/2 autour de diamants vous-même ! Pouvez-vous obtenir des rotations 3D de n’importe quel autre ordre en combinant les différentes rotations (circulaires) cycliques ?
Un autre exercice : que se passe-t-il pour les couleurs autour d’autres cercles lorsque vous faites pivoter autour d’un cercle. Par exemple, si je fais pivoter autour du cercle 12345, par le biais de 51234, qu’est-il arrivé aux couleurs sur le cercle 32415 ?
Pas convaincu ? N’oubliez pas qu’il rebondit !
Je me réjouis des corrections et clarifications dans les commentaires ci-dessous. Je suis un étudiant au doctorat en mathématiques, mais ma connaissance de groupes de symétrie est purement récréatif.
