Étape 2: Obtenir fantaisie
Extraits de [http://wikipedia www.wikipedia.org] :
La moitié supérieure d’un cercle centré à l’origine est le graphe de la fonction f (x) = \sqrt{rx 22}, où x s’étend de - r + r. La circonférence (c) du cercle entier peut être représentée comme deux fois la somme des longueurs des arcs infinitésimales qui composent ce demi-cercle. La longueur d’une seule pièce infinitésimale de l’arc peut être calculée à l’aide de la formule de Pythagore pour la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangulaire avec côté longueurs dx et f'(x)dx, qui nous donne \sqrt{(dx)2+(f'(x)dx)2} = \left (\sqrt{1+f'2.x} \right) dx.
Ainsi, la circonférence du cercle peut être calculée comme dara:)
c = 2 \int_{-r}\sqrt{1+f r'2.x} dx = 2 \int_{-r}r \sqrt{1+\frac{x2} {r2-x2}} dx = 2 \int_{-r}\sqrt{\frac{1}{1-\frac{{x r}2} {{r}2}}} dx
L’antiderivative nécessaire pour résoudre cette intégrale définie est la fonction arc sinus :
c = 2r \left[\arcsin\left(\frac{x}{r}\right) \right]_{-r}{r} = 2r \left[\arcsin(1)-\arcsin(-1) \right] = 2r(\tfrac{\pi}{2}-(-\tfrac{\pi}{2})) = 2\pi r.
Pi () est le rapport entre la circonférence d’un cercle à son diamètre.